Matemática básica Ejemplos

${(\cos (A) - 2)}^{2} - 4 \sin^{2} (A)$

Paso 1

Reescribe $4 \sin^{2} (A)$ como ${(2 \sin (A))}^{2}$ .

${(\cos (A) - 2)}^{2} - {(2 \sin (A))}^{2}$

Paso 2

Dado que ambos términos son cuadrados perfectos, factoriza con la fórmula de la diferencia de cuadrados, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , donde $a = \cos (A) - 2$ y $b = 2 \sin (A)$ .

$(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - (2 \sin (A)))$

Paso 3

Multiplica $2$ por $- 1$ .

$(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - 2 \sin (A))$

Paso 4

Expande $(\cos (A) - 2 + 2 \sin (A)) (\cos (A) - 2 - 2 \sin (A))$ mediante la multiplicación de cada término de la primera expresión por cada término de la segunda expresión.

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + \cos (A) (- 2 \sin (A)) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cos (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5

Simplifica los términos.

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Paso 5.1

Combina los términos opuestos en $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + \cos (A) (- 2 \sin (A)) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cos (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$ .

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Paso 5.1.1

Reordena los factores en los términos $\cos (A) (- 2 \sin (A))$ y $2 \sin (A) \cos (A)$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) \sin (A) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \cos (A) \sin (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.1.2

Suma $- 2 \cos (A) \sin (A)$ y $2 \cos (A) \sin (A)$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 + 0 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.1.3

Suma $\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2$ y $0$ .

$\cos (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2

Simplifica cada término.

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Paso 5.2.1

Multiplica $\cos (A) \cos (A)$ .

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Paso 5.2.1.1

Eleva $\cos (A)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (A) \cos (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.1.2

Eleva $\cos (A)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{1} (A) \cos^{1} (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.1.3

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

${\cos (A)}^{1 + 1} + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.1.4

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (A) + \cos (A) \cdot - 2 - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.2

Mueve $- 2$ a la izquierda de $\cos (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cdot \cos (A) - 2 \cos (A) - 2 \cdot - 2 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.3

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 - 2 (- 2 \sin (A)) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.4

Multiplica $- 2$ por $- 2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) + 2 \sin (A) \cdot - 2 + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.5

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) + 2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$

Paso 5.2.6

Multiplica $2 \sin (A) (- 2 \sin (A))$ .

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Paso 5.2.6.1

Multiplica $- 2$ por $2$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin (A) \sin (A)$

Paso 5.2.6.2

Eleva $\sin (A)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 (\sin^{1} (A) \sin (A))$

Paso 5.2.6.3

Eleva $\sin (A)$ a la potencia de $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 (\sin^{1} (A) \sin^{1} (A))$

Paso 5.2.6.4

Usa la regla de la potencia $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ para combinar exponentes.

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 {\sin (A)}^{1 + 1}$

Paso 5.2.6.5

Suma $1$ y $1$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin^{2} (A)$

Paso 5.3

Simplifica los términos.

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Paso 5.3.1

Combina los términos opuestos en $\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 4 \sin (A) - 4 \sin (A) - 4 \sin^{2} (A)$ .

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Paso 5.3.1.1

Resta $4 \sin (A)$ de $4 \sin (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 + 0 - 4 \sin^{2} (A)$

Paso 5.3.1.2

Suma $\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4$ y $0$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 - 4 \sin^{2} (A)$

Paso 5.3.2

Factoriza $4$ de $4$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1) - 4 \sin^{2} (A)$

Paso 5.3.3

Factoriza $4$ de $- 4 \sin^{2} (A)$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1) + 4 (- \sin^{2} (A))$

Paso 5.3.4

Factoriza $4$ de $4 (1) + 4 (- \sin^{2} (A))$ .

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 (1 - \sin^{2} (A))$

Paso 6

Aplica la identidad pitagórica.

$\cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A) + 4 \cos^{2} (A)$

Paso 7

Simplifica mediante la adición de términos.

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Paso 7.1

Suma $\cos^{2} (A)$ y $4 \cos^{2} (A)$ .

$5 \cos^{2} (A) - 2 \cos (A) - 2 \cos (A)$

Paso 7.2

Resta $2 \cos (A)$ de $- 2 \cos (A)$ .

$5 \cos^{2} (A) - 4 \cos (A)$